从原理上了解立体几何中截面图形问题

如何解决立体几何中截面图形问题

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2018年全国一卷选择题压轴题

由此我们应该对截面问题进行一下总结

立体几何截面图定义

首先，多面体的截面在课本必修二P59─例3、P63─B─1处体现。我们要清楚截面的定义：在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱，圆锥，球，棱柱，棱锥、长方体，正方体等等），得到的平面图形，叫截面。其次，我们要清楚立体图形的截面方式，总共有三种，分别为横截、竖截、斜截。最后，我们要了解每一种立体图形通过上述三种截面方式所得到的截面图有哪些。

01	正六面体的基本斜截面

02

圆柱体的基本截面

我们常考的立体图形截面多以六面体为主，在六面体的基础上再叠加一些圆柱、三棱锥等其他图形。我们在解题的过程中，只需要把每一个立体图形的截面记住，并在考试中熟练应用就可以解决很多题型了。

例1

一圆柱如图所示从中挖掉一个圆锥体，然后从任意面剖开，下面哪一项不可能是该圆柱的截面？

【解析】A是竖着切，B是横着切，D是从底面在不触碰中间小圆的情况下向外斜着切。C是斜着切，圆锥斜切的截面是个椭圆，但是位置应该偏向于一边，而不应该处于正中心。故答案为C。

例2

一立方体如图所示从中挖掉一个四棱锥，然后从任意面剖开，下面哪一项不可能是该立方体的截面？

【解析】B是竖着切，C是从正方体一个侧面出发斜着向下切。D是从正方体一个侧边出发，斜着向下切。A选项四棱锥不能切出长方形，内侧出现长方形就是错误的。故选A。

例3

一圆锥如图所示，在上面叠加一个正方体，然后从任意面剖开，下面哪一项不可能是该立体图形的截面？

【解析】A是竖着切，B是从棱锥的顶点出发斜着向上切，D只要找到有四个面符合正方体的特征，一定可以切出。C必须有六个面符合正方体的特征，题干中正方体只有五个面，底面和圆锥重合，不符合正方体特征。故选C。

例4

一立方体如图所示从中挖掉一个圆锥体，然后从任意面剖开，下面哪一项不可能是该立方体的截面？

【解析】BD一定可以切出。C是立体图形的横切面，而A项是不可能得到的截面。故正确答案为A。

例5

例6

如图，正方体ABCD―A1B1C1D1中，E、F、G分别在AB、BC、DD1上，求作过E、F、G三点的截面．

作法：(1)在底面AC内，过E、F作直线EF分别与DA、DC的延长线交于L、M．

(2)在侧面A1D内，连结LG交AA1于K．

(3)在侧面D1C内，连结GM交CC1于H．

(4)连结KE、FH．则五边形EFHFK即为所求的截面．

例7

P、Q、R三点分别在直四棱柱AC1的棱BB1、CC1和DD1上，试画出过P、Q、R三点的截面．

作法：(1)连接QP、QR并延长，分别交CB、CD的延长线于E、F.

(2)连接EF交AB于Ｔ，交AD于S．

(3)连接RS、TP。则多边形PQRST即为所求截面。

例8

已知P、Q、R分别是四棱柱ABCD―A1B1C1D1的棱CD、DD1和AA1上的点，且QR与AD不平行，求作过这三点的截面。

作法：(1)连接QP并延长交DA延长线于点I。

(2)在平面ABCD内连接PI交AB于点M。

(3)连接QP、RM。则四边形PQRM即为所求。

例9

在侧棱和高的夹角为α的正四棱锥中，求作一个过底面顶点且与这点所对侧棱垂直的截面(α＜45°)。

作法：(1)在平面SAC中，作AE⊥SC于点E。

(2)在底面ABCD内过A作a∥BD。

(3)延长CB、CD分别交a于点M、N。

(4)连接EM、EN，分别交SB、SD于点G、H。

(5)连接AG、AH。则多边形AGEH即为所求。

通过这些例题，我们不难发现，当你把每一个立体图形的截面知识都掌握好之后，我们再遇到多个立体图形的叠加，这些问题也都不在话下，相信同学们掌握以上知识点，都可以做好立体截面图形题。

相关链接：

立体2015-2017年全国课标卷立体几何题赏析(文科数学)

立体立体几何微专题2：截面问题

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